POJ2987-Firing

这是一道最大点权闭合图的问题有论文最小割模型在信息学竞赛中的应用%%这类问题的解法是建图转化成最小割问题再用最大流求解这篇论文里讲的很好我这里基本按照原文思路进行证明如果有时间和兴趣建议通读上面推荐的论文

首先定义闭合图闭合图是指一个图$G$满足若点$u$$G$那么从$u$可达的所有点$v$也在$G$

建图除开题目所给的点之外再建立源点$s$和汇点$t$记题目输入的图为$G_0(V_0,E_0)$按如下规则建立图$G(V, E )$

$$ \begin{cases} \langle s,u\rangle=w[u] \in E & u\in V_0,w[u] > 0,\\ \langle u,t\rangle=-w[u] \in E & u\in V_0,w[u] < 0,\\ \langle u,v\rangle=+\infty\in E & \langle u,v\rangle\in E_0.\end{cases} $$

这样处理之后由于原图中的边权值都变成了正无穷所以最小割中的边要么与$s$相连要么与$t$相连称这样的割为简单割

下面证明有向图中简单割和闭合图可以建立一一对应关系数学中称为同构

下面的证明不知道思路乱不乱建议结合那篇论文一起食用他的证明比较简短如果哪里搞不懂再回来看这里的证明

先证明一个闭合图必存在一个简单割与之对应闭合图对应简单割

思路考虑图$G$的闭合子图$G'(V',E')$由定义其中一定没有指向$G'$外的边那么$G_0$中对应的子图$G_0'$流出$G_0'$的一定是直接流出到t的边为了切断$s$$u$的联系可以考虑将$G_0'$流出的边集$O$纳入割中$G_0'$的补图为$\overline{G_0'}$那么现在只要防止流量从$\overline{G_0'}$流出由于从$s$流进$G_0'$的边只可能从$O$流出所以不必考虑它们只要考虑从$s$流进$\overline{G_0'}$的边集$I$显然$O\cup I$删除后可以切断s与t的联系

证明1$O\cup I$是割割的定义对某个顶点集合$S\subset V$$S$出发指向$S$外部的那些边的集合在这里取$S=V'\cup\{s\}$$u\in S$$u=s$$u$出发指向$S$外部的边集即是$I$$u\in V'$$u$出发指向$S$外部的边集即是$O$从而由定义$O\cup I$是割还有事实由于$s$不会直接向$t$连边$O\cap I=\varnothing$

再证明一个简单割必对应一个闭合图

思路希望仿照上面的构造方法将简单割对应回闭合图即寻找逆映射设简单割$[S,T]$中与$s$相连的边集为$I$$t$相连的边集为$O$那么这个割$[S, T]$对应的$S$应当是删掉简单割$[S,T]$中的边后$s$可达的点的集合记作$V'=S-\{s\}$$\cup \{s\}$下面证明这些点恰恰构成上面证明中提到的闭合图

证明2$V'$中的点及由$V'$出发的边集构成闭合图由于$[S,T]$是割删去$[S,T]$$s$可达的点一定在$S$一定无法离开$S$找到指向$S$外的路径由定义这些点是闭合图$V'$中有负权点那么它指向$t$的边应当已被包含在$[S,T]$由于$[S,T]$是简单割$V'$指向$S$外的边只有这些边$s$指向$S$外的边全部指向$V-V'$中的正权点它们也应当已被包含在$[S,T]$至此$[S,T]$的结构就清楚了$s$指向$V-V'$的边以及从$V'$指向$t$的边发现这个割对应的点集$V'=S- \{s\}$如果按照证明1中的方法寻找割仍得到这个割

一一对应关系建立完成后试图建立最小割与最大点权的关系对最小割$[S,T]$$V'=S-\{s\},\overline{V'}=T-\{t\},V'$中点权为正的点集为 $V'_+$点权为负的点集为$V'_-$类似地定义$\overline{V_+'},\overline{V_-'}$那么最小割中的边权为$w(\overline{V'_+})+w(V'_-)\left(w(V)=\sum\limits_{v\in V}{|w(v)|}\right)$而最大点权应为$w(V'_+)-w(V'_-)$他们的和为$w(\overline{V'_+})+w(V'_+)=w(V_+)$不变那么取得最小割时就会得到最大点权闭合图问题就解决了

由于流的上限太高Ford-Fulkerson算法会TLE需要用Dinic算法

最后在残留网络上从源点$s$出发dfs一下就知道$G'$中的点数了挖个坑需要证明按照这种做法得到的一定是点数最少的子图

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
struct edge {
    int from, to;
    long long w, f;
    int rev;
    edge(int i_from, int i_to, long long i_w, int i_rev) {
        this->from = i_from;
        this->to = i_to;
        this->w = i_w;
        this->rev = i_rev;
        this->f = 0;
    }
};
vector<edge> G[5005];
void addedge(int from, int to, long long w);
long long max_flow(int pt, long long f);
int count(int pt);
void bfs();
int level[5005];
int iter[5005];
int n, m, w[5005];
bool vis[5005];
int main()
{
    long long sumw = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &w[i]);
        if (w[i] > 0) {
            addedge(0, i, w[i]);
            sumw += w[i];
        }
        if(w[i] < 0){
            addedge(i, n + 1, -w[i]);
        }
    }
    int father, son;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d", &father, &son);
        addedge(father, son, sumw + 1);
    }
    long long maxf = 0;
    while (true) {
        memset(level, -1, sizeof(level));
        bfs();
        if (level[n + 1] < 0) break;
        memset(iter, 0, sizeof(iter));
        while (true) {
            long long f = max_flow(0, sumw);
            if (f == 0) break;
            maxf += f;
        }
    }
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    int cnt = count(0) - 1;
    cout << cnt << " " << (sumw - maxf);
    return 0;
}
void addedge(int from, int to, long long w) {
    G[from].push_back(edge(from, to, w, G[to].size()));
    G[to].push_back(edge(to, from, 0, G[from].size() - 1));
}
long long max_flow(int pt, long long f) {
    if (pt == n + 1) {
        return f;
    }
    long long curf = 0;
    for (int &i = iter[pt]; i < G[pt].size(); i++) {
        edge &v = G[pt][i];
        if (level[v.to] <= level[pt] || v.w <= 0) continue;
        curf = max_flow(v.to, ((f > v.w) ? v.w : f));
        if (curf > 0) {
            v.w -= curf;
            v.f += curf;
            G[v.to][v.rev].w += curf;
            return curf;
        }
    }
    return 0;
}
void bfs() {
    queue<int> que;
    que.push(0);
    level[0] = 0;
    while (!que.empty()) {
        int u = que.front(); que.pop();
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            if (level[G[u][i].to] >= 0 || G[u][i].w <= 0) continue;
            level[G[u][i].to] = level[u] + 1;
            que.push(G[u][i].to);
        }
    }
}
int count(int pt) {//dfs
    if(vis[pt]) return 0;
    int ans = 1;
    vis[pt] = true;
    for(int i = 0; i < G[pt].size(); i++) {
        if(vis[G[pt][i].to] || G[pt][i].w <= 0) continue;
        ans += count(G[pt][i].to);
    }
    return ans;
}